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数学精神

2012-02-17http://www.infzm.com本文被阅读过2402281次[推荐][打印][保存][大字体][中字体][小字体]

  经典的数学优美,现代的数学除了优美,更有壮美。然而数学的精神,自从发皇于古希腊,古今一贯,从未中绝,一切的现代学问中,最能守持古典精神的,仍是数学。

  一、“数学好玩”

  陈省身先生去世八年了,但是读《陈省身传》,使我觉得这位大数学家仍然活着,声音笑貌,宛然目前。书中引了一首杨振宁的旧体诗,几千年的几何学历史,最简练的概括,就在诗句里:“千古寸心事,欧高黎嘉陈。”

   《陈省身传》(修订版),张奠宙、王善平著,南开大学出版社 2011年10月,68元

  几何学真的只是“寸心事”,几何学的历史真的只是“寸心”的传承与光大,而这“寸心”能运用于万汇物理,天衣有缝,依其剪接,微子聚力,赖其笼络,又真的是“浑然归一体,广邃妙绝伦”。陈省身自谦“罗汉”,但在几何学的殿堂里,他实在是一尊端坐于欧几里得、高斯、黎曼和嘉当之列的菩萨。《陈省身传》初版于传主的生前,这次修订再版,若干的增补中有一则趣事:陈省身临终前不久曾为少年数学爱好者题词:“数学好玩”;佛菩萨真的是触处见机,咳唾都是“心法”啊。

  《陈省身传》的两位作者,主笔的是张奠宙教授。张教授是在泛函分析研究上取得过骄人成绩的数学专家,又是一位胸有全局的数学通人。“文革”结束不久,在国门依旧封闭的情况下,他就开始全面考察世界现代数学的发展和成就,历史轨迹和数学思想并重,所成《二十世纪数学史话》,启迪人至深,当时陈省身就非常称赞并着力推介。2002年,张教授又成《二十世纪数学经纬》一书,内容加深加广,构思阔大,论述精到,较之“史话”,俨然一部有规模的现代数学通史了。《陈省身传》的另一位作者王善平是张教授的学生,他说自己“只是收集整理材料;当然,学到了很多”。是的,这样的书,就是读一遍,就是随便翻翻,也能“学到很多”,更不必说“整理材料”,参与写作了;这样的经验是那些为了“对得起”经费的课题写作无法比拟的。

  两位作者还编过一本《陈省身文集》,主要收集陈省身的研究性论文之外的文字,但例外地收了陈省身自称“我一生最得意的工作”——《闭黎曼流形高斯-博内公式的一个简单的内蕴证明》一文;是王善平从美国《数学纪事》(Annals of Mathematics)1944年卷中译过来的。2002年8月,第24届国际数学家大会在北京召开,张奠宙校、王善平译的《数学无国界》一书同时出版,这本书讲述一百年间国际数学家大会以及主办大会的国际数学联盟的历史,作者是曾任联盟主席的奥利·来赫托。书名传达了数学的真精神。2011年,为了纪念陈省身百年诞辰而出版的《陈省身与几何学的发展》一书,编辑工作主要也是由王善平担任。这些书可以互相“链接”,不同需求的读者自能各取所需,开卷得益。

  二、“经典的”与“现代的”

  陈省身是一位不世出的几何学家,他有伟大的贡献。记得“文革”中毛主席会见杨振宁,曾说:“你是对人类作了贡献的人,我不是。”如果他会见陈省身,也当如是说。

  众所周知,几何学是研究空间的性质和结构的。凭人类生而俱来的肉身感官,人们也许觉得空间很简单,还不是四方上下平直均匀无限延伸,有什么结构,谈什么性质。但是,一经数学用符号和数量关系把空间改制为抽象的、思想上的对象或实体,就大有文章可做了。

  高斯用微积分的观点和方法,处理嵌在平直空间里的曲面,所得结果使思维进入新的层面:有充分的理由把曲面本身看作“内蕴空间”。空间就是曲面,曲面就是空间。人类直观到的三维空间,无非是加上时间以后四维空间里的一个“曲面”,或者说“超曲面”。空间可以是不平直的,可以处处有“曲率”;平直空间不过是曲率为0的曲面。

  爱因斯坦研究引力作用、建立广义相对论时,已经有黎曼的曲面上的微分几何在等着他,爱翁是经由他的好朋友格罗斯曼的介绍,认识黎曼几何的。“广相”的结论竟然是:引力作用不是什么物与物之间的互相“吸引”,而是空间的“曲”性有以致之。

  曲率是曲面的局部性质,曲面还有整体结构。同为橡胶制品,足球和汽车轮胎的表面显然是整体结构不同的;轮胎倒是和面包圈结构相同。不难想见,曲面的整体结构可以非常复杂,复杂到无以复加。所以微分几何先是研究曲面的局部性质,而后才发展出整体微分几何。整体微分几何需要用拓扑的观点看曲面,把它定义为“流形”(manifold)。

  整体微分几何的兴起和发展,是一个起死回生的过程。1943年陈省身初到普林斯顿,外出赴会,火车上邂逅一位美国有名的数学家。倾谈间,那位数学家听陈省身说是研究微分几何的,随口应道:“Oh!它死了!”经典微分几何在曲面局部性质上取得了许多优美成果,但因观点、方法、工具限于分析(即微积分)的范围,发展已臻止境,是死了。但这是火凤凰之死,她会重生,她会在更高的拓扑观点的观照下,在拓扑、代数、分析诸多工具的锤炼下重生。陈省身就是现代微分几何一位最重要的催生者和奠基者。

  数学有“经典的”与“现代的”之分。发思古幽情的现代人,往往喜欢“经典的”东西,不喜欢“现代的”东西,文章、艺术、建筑,无不是古胜于今。数学不同,数学显然是“现代的”胜于“经典的”,现代数学把经典数学吃进去了,消化掉了,几乎没有排出什么“糟粕”;经典的数学优美,现代的数学除了优美,更有壮美。然而数学的精神,自从发皇于古希腊,古今一贯,从未中绝,一切的现代学问中,最能守持古典精神的,仍是数学。菲尔茨奖没有奖金,只有奖章,但它是数学界的最高荣誉,奖章上刻着的是古希腊阿基米德的头像。

  1943年至1946年,不到三年间,陈省身在普林斯顿从事现代微分几何的奠基工作,使得关于流形整体结构的纤维丛理论基本成形。他把高斯-博内公式从二维推广到高维;他把欧拉-庞加莱示性数、施蒂菲尔-惠特尼示性类等刻画整体的概念和局部的曲率联系起来;他又把一般微分流形的球丛推广到复流形上的复球丛,引进了一种全新的示性类,后来称为“陈类”(Chern Class),时至今日,陈类已经是现代数学中的一个基本概念。

  1945年夏,陈省身在美国数学会大会上作题为“大范围微分几何若干新观点”的报告,系统阐述了整体微分几何的新思想和新方法。老一辈的拓扑学和几何学权威霍普夫听后评论说:“这篇演讲表明大范围微分几何的新时代开始了。这个新时代以纤维丛的拓扑理论和嘉当外微分方法的综合为特征。”半个世纪后,美国数学家辛格表达了所有追随和接续陈省身工作的学生后辈的共识:“陈省身就是现代微分几何。”菲尔茨奖得主邱成桐更明白宣示:“现代微分几何,嘉当是祖,陈省身是父。”

  嘉当是陈省身的老师,他的外微分方法是一根“魔杖”,真懂和能用的人很少,连堪称希尔伯特之后最大数学家的外尔都说:“嘉当的书难读。”但陈省身掌握了这根魔杖,独得之秘,运用自如。1991年张奠宙问过陈省身:“现在大家都能够很好地理解嘉当的思想了吗?”陈省身回答:“不一定。我可以保留这种秘密武器,别人做不出的结果,我可以做出来。”

  1984年,陈省身获沃尔夫奖,这个奖可以与菲尔茨奖并列,是数学的终身成就奖,颁奖词特别指出:“他在整体微分几何上的卓越贡献,其影响遍及整个数学。”被认为20世纪两项最伟大的数学成就之一的阿蒂亚-辛格指标定理(另一个是费尔马大定理的证明),也是以陈省身的工作为基础的。辛格在贺陈省身八十寿辰的文章中说:“对陈省身在局部和整体几何中能如此有效地运用微分形式感到惊异。”这所谓“微分形式”,就是陈省身的独得之秘,嘉当的魔杖。陈省身的同行们推崇他对现代几何的贡献,同时也欣羡他“对丰富和美丽的经典几何十分娴熟,这在数学界已经非常罕见”。

 

(作者:陈克艰)
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